Continuando o artigo anterior, (se você não o viu, poderá vê-lo em: http://vivaolinux.com.br/artigo/Introducao-a-Logica-para-computacao/ ),
estaremos adentrando em outras propriedades da Lógica direcionada à computação.
Toda a proposição composta, cuja última coluna de resolução de sua tabela verdade é expressa totalmente pelo valor lógico verdadeiro (1).
- Contradição:
Toda a proposição composta, cuja última coluna de resolução de sua tabela verdade é expressa totalmente pelo valor lógico falso (0), ou seja, dizer que a tautologia é o antônimo de uma contradição é verdadeiro, e ainda, dizer que tautologia é o contrário de contradição, também é válido.
- Contingência:
Toda a proposição composta, cujo valor lógico é intercalado entre verdadeiro e falso, não necessitando do mesmo número ou de uma equivalência (em quantidade). É uma
mescla entre tautologia e contradição expressas na mesma tabela verdade.
Exemplo 1:
p, q (p^~q)
V V F
V F F
F V F
F F F
A tabela acima expressa uma tabela contra-válida.
Exemplo 2:
p, q (p->q)
V V V
V F F
F V V
F F V
A tabela acima expressa uma tabela contingente.
Exemplo 3:
p, q p->(q->(q->p))
V V V
V F V
F V V
F F V
A tabela acima expressa uma tabela tautológica.
Para proposições compostas, pode-se resolver primeiramente proposições compostas/simples em partes, dividindo por precedência, ou seja, primeiramente os parênteses
mais internos, e no final, cruzar informações a fim de definir uma ou mais proposições compostas para simples.
Como por exemplo:
p, q (p->q)->(pvq)
O exemplo acima pode ser dividido em:
p, q, p->q, pvq
A tabela verdade ficaria mais fácil para quem está iniciando, pois, depois de dividida, basta cruzar as informações.
Como por exemplo:
p, q, p->q p^q (p->q)->(p^q)
V V V V V
V F F F V
F V V F F
F F V F F
Como observado, pode-se concluir que a proposição (p->q)->(p^q) é definida por: composta contingente.
Outro exemplo:
p, q, r ((p->r)->q) v ((p^q)->r), vamos dividir em:
p, q, r p->r, (p->r)->q, p^q, (p^q)->r, ((p->r)->q) v ((p^q)->r)
A resolução é a seguinte:
p, q, r p->r, (p->r)->q, p^q, (p^q)->r, ((p->r)->q) v ((p^q)->r)
V V V V V V V V
V V F F V V F V
V F V V F F V V
V F F F V F V V
F V V V V F V V
F V F V V F V V
F F V V F F V V
F F F V V F V V
O exemplo acima é definida por: composta tautológica.
Implicação lógica
É um símbolo de relação, aplicado à proposições compostas, para linhas que todos os valores lógicos sejam verdadeiro. É chamado de implicação lógica porque seu valor lógico pode implicar sobre outra proposição simples/composta. Como por exemplo:
p, q p^q pvq p<->q
V V V V V -> Esta linha é uma implicação lógica, pois a implicação acontece sobre p^q, pvq e p<->q.
V F F V F
F V F V F
F F F F V
O exemplo acima é uma implicação lógica na primeira linha.
Outro exemplo: construir a tabela verdade da proposição (pvq)^~p e verificar se ela implica em outra proposição:
p, q pvq ~p (pvq)^~p
V V V F F
V F V F F
F V V V V -> Esta linha é uma implicação lógica, pois a implicação acontece sobre pvq que implica sobre ~p.
F F F V F
Também pode ser definida uma proposição composta como implicada, utilizando o símbolo => (também conhecido como implicação).
Exemplo: pvq => p (lê-se p ou q implica em p).
Resolução do exemplo:
p, q pvq => p
V V V V -> É uma implicação, ou seja, pvq=>p é verdadeiro na primeira linha.
V F V V
F V V F
F F F F
[7] Comentário enviado por lcavalheiro em 29/12/2011 - 14:02h
Ariel, eu tenho uma sugestão com relação às regras de cálculo proposicional de primeira ordem. O método de sistema dedutivo que você apresentou é funcional, mas exigem muita decoreba e nem sempre são de aplicação simples e imediata. Nos estudos contemporâneos de Lógica Matemática esse método está sendo abandonado em prol das regras de inclusão e eliminação de operadores(literalmente, operações com operadores lógicos). Existe um livro muito bom sobre o assunto (infelizmente eu não sei se ele já foi traduzido pro nosso idioma) chamado "Logic and Structure", de Dirk van Dalen. Assim que a carga no meu computador reduzir um pouco (no momento estou compilando o Virtual Box pra testar a distro educacional Pandorga, que nosso governo criou baseada em (argh!) Debian) eu te passo as regras, ok?
[10] Comentário enviado por arieldll em 30/12/2011 - 21:11h
Obrigado pela sinalização! Sem problemas, podemos corrigir facilmente a expressão.
Para a proposição ser contraválida basta substituir a epxressão por: (p^~q)^q. Onde que o q força uma negação na linha, bem como toda a tabela.
Se possível moderação, favor corrigir.
[11] Comentário enviado por lcavalheiro em 31/12/2011 - 11:32h
Ariel, no exemplo 1 em questão o lestatwa está falando de proposições contingentes. A contradição total, se for o caso, pode ser obtida mais facilmente com (p ^ ~p). Duas variáveis com um único operador binário formam, necessariamente, uma expressão contingente, sendo necessário recorrer a um segundo operador binário (aumentando a profundidade da árvore dedutiva da proposição e, em TI, a complexidade computacional do processo) como o amigo Ariel sugeriu. Note que semanticamente falando essa proposição da correção do amigo pode ser escrita como (p ^ q) ^ ~q, ainda que indutivamente você possa dizer que a implicação dessas duas proposições seja o p, mas isso é assunto pra outro lugar...
[12] Comentário enviado por arieldll em 31/12/2011 - 12:03h
lcalheiro, a ideia é deixar a tabela como contraválida, para, um simples exemplo.
Aproveitando o post, a ideia era ter um exemplo de cada situação com uma proposição composta de mais de uma proposição simples apenas(p), como pode-se observar os outros exemplos, que também são desta forma. A forma mais fácil realmente seria ~p^p.