Álgebra das proposições

A álgebra das proposições é utilizada para reduzir/modificar expressões compostas, ou seja, também são conhecidas como propriedades.

Como descobrir se a propriedade aplicada está correta? Basta desenvolver a tabela verdade de todas as proposições empregadas na proposição composta, ou seja, todas as proposições devem ser equivalências lógicas.

Sejam as proposições p, q, então, defini-se:

      p^(qvr) <=> (p^q) v (p^r)
      pv(q^r) <=> (pvq) ^ (pvr)
      ~(p^q) <=> ~p v ~q
      ~(pvq) <=> ~p ^ ~q
      p->q <=> ~pvq
      ~(p->q) <=> ~(~pvq) <=> p^~q
      p^(q^r) <=> (p^q)^r
      pv(qvr) <=> (pvq)vr
      p<->q <=> (p<->q)^(q->p)
      ~(p<->q) <=> (p^~q) v (~p^q)
      p<->q <=> (~pvq)^(~qvp)

Exemplo:

   (p->q)^p <=> (~pvq)^p <=> (~p^p) v (q^p)

Outro exemplo:

   (p->(~p->q)<=>p->(~~pvq) <=> ~pv(pvq) <=> (~pvp) v (~pvq)

Mais um exemplo:

   (pvq)->q <=> ~(pvq)vq <=> (~p^~q)vq <=> (qv~q) ^ (qv~p)

Regra de Morgam

A regra nega as proposições invertendo o valor lógico da proposição v (ou) para E e vice-versa.

Exemplo:

   ~(p^q) <=> ~pv~q

Outro exemplo:

   ~(pv~q)v~(p^q) <=> (~p^q) v (~pv~q)

Método dedutivo

No método dedutivo, as equivalências relativas desempenham um papel importante nas equivalências lógicas. As simples proposições (simples ou compostas) podem ser substituídas por P,Q,R,T(Tautológica, Contradição).

Exemplo:

       (p->(~p->q)<=>p->(~~pvq) <=> ~pv(pvq) <=> (~pvp) v (~pvq) <=> T v (~pvq) <=> T

A implicação acima representa uma tautologia.

Mas por quê? Porque como pode-se observar, a propriedade distributiva gera (~pvp), ou seja, ela é obrigatoriamente forçada a gerar um valor verdadeiro. Se p:f, então p:v. Se p:v, então p:v. Ao juntar-se com o operador v(OU), ela obriga a proposição formada a gerar um valor verdadeiro na resolução.

Caso a proposição fosse T ^ (~pvq), então, o valor lógico é igual a (~pvq), pois, o valor mesmo que falso, juntado. com (~pvq) será (~pvq).

Exemplo:

      Mostrar equivalências: (p->q) ^ (p->~q)

      Resolução:

      (p->q) ^ (p->~q) <=> (~pvq)^(~pv~q) <=> (~p^~p)v(qv~q) <=> ~pvC <=> ~p