Um princípio matemático que respeitasse a característica três (comutatividade) é extremamente fácil e não era mistério. Soma ou multiplicação são exemplos bem simples disto.

Como o real princípio matemático (que irei descrever e demonstrar) é um tanto complexo, vou antes explicar a ideia do algoritmo usando o princípio da multiplicação, apenas para finalidades didáticas: Da forma como ilustrado, nenhuma das informações que está em vermelho (1357, 35, 89) foi transmitida, no entanto o Receptor foi capaz de recuperar com sucesso a informação correta.

Considerando que um atacante, observando o tráfego, tenha cópias de todas as mensagens, ele tem os valores da mensagem a (47.495), da mensagem b (4.227.055) e da mensagem c (120.773), mas não tem a chave.

O que torna a multiplicação inviável é justamente porque o atacante tem como descobrir estes valores apenas com as mensagens que obteve. Se o atacante dividir b por a, terá o cadeado do receptor (4227055/47495=89). Óbvio! Se ele dividir b por c terá o cadeado do Emissor. Pronto. Não serve. Era necessário não apenas um princípio matemático que tivesse as propriedades citadas, mas que também fosse irreversível. Multiplicação não serve, pois a divisão o reverte.

Finalmente Diffie e Hellman descobriram isto na operação de módulo. Qual é a expressão matemática que desfaz uma operação de módulo?

Módulo, lembra? O resto de uma divisão. Se eu pergunto quanto é 135 MOD 12, facilmente alguém calcula 3 (qual o resto da divisão de 135 por 12?).

Mas e se eu disser que 1239 MOD X = 21, como vocês fariam para descobrir o valor de X? Qual o número (X) que quando se divide 1239 por ele resulta em resto 21? Vocês provavelmente irão fazer por tentativa e erro, ou seja, ir tentando valores de X até achar um que dê 21. Ao tentar o 29, verão que 1239 MOD 29 resulta em 21.

Mas apenas a operação de módulo em si ainda não serve, pois existem vários candidatos a X (29, 42, 58, 87, 174, 203, 406, 609, 1218, ...) e ao menos um deles pode ser facilmente calculado. E ainda tem sim uma forma matemática para reverter esta expressão (deixo como desafio).

Mas que tal esta expressão então:

23^X mod 1311 = 1127

Qual é o valor de x?

Agora sim, você terá mesmo que ir testando valores de x na expressão até encontrar um que resulte em 1127. Ao tentar o valor 7 você terá sucesso. Não existe uma fórmula matemática que calcule o x de forma direta.

Finalmente os tolos descobriram o Santo Graal!