Este é um terceiro método de cálculo de logaritmos e o curioso é que sempre são necessários os mesmos números de passos para o cálculo.

Bem diferente do que cito como métodos "A" e "B".

Não é nada inovador e é do tipo de coisa vista num curso escolar sobre a matéria.

Detalhes no código.

Não precisa de derivadas. Apenas saber raiz quadrada. O que significa que dá prá fazer com o auxílio de uma calculadora do tipo que não é científica e algumas anotações caso esta calculadora tenha restrição de memória.

Portanto a precisão e o custo computacional estão ligados diretamente ao algoritmo de raiz quadrada usado.

Ele usa o mesmo método quese usa para saber quantas casas decimais ou quantos bits tem um número.

Ao se escrever um número de binário para decimal, são usadas somas de potências de 2 e *** qualquer número é uma soma de potências não-repetidas de 2.

Como se faz mesmo? Divide-se por 2 repetidas vezes e anotam-se os restos, 0 e 1 alternados que serão os dígitos de escrita.

Por exemplo: 32 = 2 elevado à 5. São feitas 5 divisões por 2. Por acaso esse 5 é o expoente e o logaritmo.

Para 33 = 2 elevado à 5. mais 1. A diferença é que sobrou 1.

Se a parte inteira desse logaritmo de 33 base 2 é 5 e pôde ser calculada, então não existiria algo a ser feito com esse 1 que sobrou prá saber qual é o logaritmo de 33 base 2 fracionado?

A resposta é sim.

Numa divisão, divisão mesmo, quando o resto é maior que o número prá se dividir, coloca-se a vírgula e vão sendo colocados zeros quando não se consegue dividir.

Se o objetivo era o de descobrir quantos 2 existiam dentro de 33, agora esse objetivo deve ser mudado porque 2 já não é possível com o resto 1.

Agora deve-se descobrir quantas "raiz quadradas de 2" existem neste resto. Dividir o resto por sqrt(2) quantas vezes for possível, contar quantas divisões foram feitas e colocar após a vírgula colocada após o cinco.

E quando o resto for de novo menor que o teste, que é "raiz quadrada de 2", muda se de novo o teste. Muda-se para "raiz quadrada da raiz quadrada" de dois. Também chamada de a "raiz quarta".

Faz-se a mesma coisa: contam-se o número de divisões e anota-se na casa decimal seguinte à da última contagem.

O único problema é que este método depende do sistema de numeração adotado.

Esse exemplo citado acima foi para base 2. Para fazer com base 10, precisa trabalhar com "raiz décima". E agora?

Da mesma forma que inteiros são representados por somas de potências de dois, fracionários também podem ser representados.

Representados por somas de potências de 0.5 (ou 1/2).

Ficaria a sequência: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32...

1/2 = 0.1 binário
1/4 = 0.01 binário
1/8 = 0.001 binário
1/16 = 0.0001 binário
1/32 = 0.00001 binário

Da mesma forma que existem decimais de casas infinitas, existiriam binários de casas infinitas.

No caso do teste de divisão existiriam duas hipóteses:

"dá prá dividir" o resultado da divisão é 1
"não dá prá dividir" o resultado da divisão é 0

Sempre havendo resto.

Se fosse prá escrever em binário de baixo nível na memória, bastava deslocar uma casa tipo "x >> 1" em ponto flutuante e inverter o bit, mas parece que em C não há como e ainda não me inteirei do que poderia ser feito. Ainda.

Então o jeito é somar potências de (1/2) decimais numa variável conforme o resultado da divisão seja 0 ou 1.

O expoente da potência somada corresponde à casa fracionária binária.

Fiquem à vontade para sugestões, dúvidas ou apontar erros e simplificações.

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Esconder código-fonte

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// Algoritmo "C"

// Um terceiro Método Para Logaritmos
// Nao sei quem poderia ja te-lo inventado porque simplesmente ainda nao encontrei um autor descrevendo este metodo 
// E tambem nao sei quem o sugeriu porque ainda nao encontrei como sugestao ou descricao em nenhum livro, artigo ou site
// Nem executado em papel e nem executado em maquina
// Mas eh certeza que alguem ja fez e ateh melhor no ambito escolar.

// Favor compilar com
// gcc logaritmo-metodo-c-001.c -o logaritmo-metodo-c-001 -lm

// Calcula logaritmo natural - Base "e" - nessa situacao
// Pode ser mudado para a base que se quser sem esforcos
// Nao diverge e nem depende de chute
// O numero de passos so muda dependendo da precisao do ponto flutuante ou de quanto quer se aproximar
// Essa precisao do ponto flutuante que eh dita aqui desta maneira eh o numero de bits que essa variavel ocupa no sistema 
// 100% iterativo e binario
// Talvez com assembly executando calculos de baixo nivel em ponto flutuante fique melhor ainda
// Mas deste modo eh mais ilustrativo
// O melhor de tudo: nao eh necessario saber calculo. Mais facil entender
// Da pra fazer com lapis, papel, uma calculadora de feira e alguma paciencia.
// Calcular raiz quadrada no papel pode ser mais simples que elevar 2,718181 à 3,14159216
// O unico inconveniente eh que para tirar logaritmo de base "e", deve-se saber o numero previamente, independente destealgoritmo.
// O erro implica na precisao desse valor fornecido e de outros quaisquer, de forma igual.

int main (void) {

   double s = 0.0;
   double t = exp(1.0);
   double i = 1.0;
   double x = 21397534.0;

   double y = 0.0;


   double x0 = x;
   double t0 = t;   

   int flag = 0;

   if (0<t && t<1) { flag = ~flag; t = 1/t; }

//   int q = 0;  // Apenas para avaliar numero de passos

   do {

      while (x>t && t>1) { y += i; x/=t; }

//      printf("q=%4d\tx= %15.25f\t i= %15.25f\t y= %15.25f\t t= %15.25f\t s= %15.25f\n", q, x, i, y, t, s);

      s += y;
      y = 0.0;
      t = sqrt(t);
      i /=2.0;

//      q++;

   } while (t>1);

   if (flag) { s = -s; t = 1/t; }

//   printf("q=%4d\tx= %15.25f\t i= %15.25f\t y= %15.25f\t t= %15.25f\t s= %15.25f\n", q, x, i, y, t, s);
   printf("%15.25f^%15.25f=%15.25f\n", t0, s, pow (t0,s)); 

   return 0;

}

Aplicção em C++

Biblioteca ctype.h

Árvore AVL, usando arquivos para armazenamento de dados

Biblioteca estática para manipulação de pilhas

[C] Rotação de Bits