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\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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%
\newtheorem{thm}{Teorema}[section]
\newtheorem{cor}[subsection]{Corolário}
\newtheorem{lem}[thm]{Lema}
\newtheorem{prop}[thm]{Proposição}
%\theoremstyle{definição}
\newtheorem{defn}[thm]{Definição}
% MATH -------------------------------------------------------------------
\newcommand{\Real}{\mathbb R}
\newcommand{\RPlus}{\Real^{+}}
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\begin{document}
%--------------------------------------------------
\begin{center}
Instituto de Ciências Exatas\\
Departamento de Matemática\\
Geometria Diferencial\\
nfermat\\
\end{center}

\begin{center}
O Triedo de Frenet
\end{center}


\begin{defn}
Se $\alpha:I \emm \Real^3$ é uma curva regular
parametrizada pelo comprimento de arco, então a curvatura
($k$) de $\alpha$ em $s \in I$, é o número real $k(s) = |\alpha''(s)|$.
\end{defn}
\begin{defn}
Seja $\alpha :I \emm \Real^3$ uma curva parametrizada
pelo comprimento de arco tal que $k(s) >0$. O vetor $ n(s) =
\frac{\alpha''(s)}{k(s)} $ é denominado vetor normal a $\alpha$ em $s$.
A reta normal a $\alpha$ em $s_0 \in I$, é a reta que passa por $\alpha(s_0)$
na direção do vetor normal $n(s_0)$\\
\indent Denotamos por $t(s)$ o vetor unitário $\alpha'(s)$,
temos que $t(s)$ e $n(s)$ são vetores ortonormais e
$t'(s) = k(s)n(s).$
\end{defn}

\begin{defn}
Seja $\alpha :I\emm \Real^3$ uma curva regular parametrizada
pelo comprimento de arco tal que $k(s) > 0$. o vetor
\textit{binormal} a $\alpha$ em $s$ é $b(s) = t(s)\x n(s)$.
\end{defn}
\indent O plano formado pelos vetores ortornormais $T=t(s)$
e $N=n(s)$ é denominado plano \textit{osculador} do caminho(curva) $\alpha$
no ponto $\alpha(s)$.
o formado pelos vetores $B=b(s)$ e $T$ é chamado
de plano \textit{retificante} e o plano formado pelos vetores
$B$ e $N$ é chamado plano \textit{normal}.\\
\indent A base $F=F(s)=(T(s),N(s),B(s))$ chama-se \textit{Triedro de Frenet}.
\\
\indent Já sabemos que $T'=kN$. além disso, $N\bot N'$, donde $N'=
x\pont T + w\pont B$. Para determinarmos $x$ e $w$ derivamos a igualdade
$\seq{N,T}=0$, obtendo $\seq{N',T} + \seq{N,T'} = 0$.
Logo $x=\seq{N',T'}=-\seq{N,T'}=-k$,
e mais $w=\seq{N',B}=-\seq{N,B'}$. Chamamos $w=w(s)$ de torção.\\\\
\indent Observemos que $T'= k\pont N$, $N'=-k\pont T + w\pont B$
e $B'= -w\pont N$. Pondo $F'=(T',N',B')$, temos $F'= A\pont F$,
onde $A$ é uma matriz anti-simétrica definida como:\\
\[ A= \coc{
\begin{array}{ccc}
0 & k & 0 \\
-k & 0 & w \\
0 & -w & 0
\end{array}
}
\]
\textbf{ Aplicações:}\\\\
\begin{thm}
Seja $\alpha :I \emm \Real^3$ uma curva regular, de curvatura não nula.
Então $\alpha$ é planar se, e somente se, $w=0$.
\end{thm}
\begin{proof}
$\volta)$Seja $w=0$, logo $B'=-w\pont N = 0 \implica B$ é constante
$\implica \frac{d}{ds}\seq{\alpha(s)-\alpha(a),B} = \seq{T,B} = 0
\implica \seq{\alpha(s) - \alpha(a),B}$ é constante.
Para $s=a$ temos que $\seq{\alpha(a)-\alpha(a),B} = 0$ logo $\forall s,
\, \seq{\alpha(s)-\alpha(a),B}=0$, ou seja $\alpha(s)$ é planar.\\
$\implica)$
Seja $v$ um vetor ortogonal ao plano que contem $\alpha(s)$.
Logo $\seq{\alpha(s) -\alpha(a),v}=0$. Derivando temos que
$\seq{\alpha'(s),v}=0$ e mais $\seq{\alpha''(s),v}=0$
portanto $\seq{T,v}=0$ e $k(s)\seq{N,v}=0.$
Assim $v \parallel B$ pois como $k(s) \neq 0$, $v\bot N$ e $v\bot T$.
Desse modo $\seq{N,B}=0$ logo $w=\seq{N',B}=0$
\end{proof}
\begin{thm}
Seja $\alpha : I\emm\Real^3$ uma curva regular. Então o traço
de $\alpha$ está contido numa circunferência de raio
$r>0$ se, e somente se, $w=0$ e $k = \frac 1a.$
\end{thm}
\begin{proof}

\end{proof}
\begin{defn}
Uma curva regular $\alpha:I\emm\Real^3$ é uma \textbf{hélice}, se
existe um vetor unitário $v$ que forma um ângulo constante
com $\alpha'(t),\, \forall t \in I$, isto é,
$\frac{\seq{\alpha'(t),v}}{|\alpha'(t)|}$ é constante.
\end{defn}
\begin{thm}
Seja $\alpha:I\emm\Real^3$ uma curva regular de curvatura e torção
não nulas. Então $\alpha$ é uma hélice se, e somente se, $\frac kw$
é constante
\end{thm}
\begin{proof}

\end{proof}


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\end{document}
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