O principal objetivo desta dica é explicar, de maneira simples e rápida, como se inicia os navegadores de internet (Google Chrome e Firefox) no modo privado no GNU/Linux.

Ou seja, você iniciará o navegador e quando o mesmo for fechado, todos os dados de navegação não serão salvos, será como se você nem estivesse usado o mesmo.

Firefox em modo privado

Abra o terminal e digite:

firefox --private

Assim, abrirá o Firefox em modo privado:

Google Chrome em modo privado

Abra o terminal e digite:

google-chrome --incognito

Assim, abrirá o Google Chrome em modo privado.

Como é possível ver na imagem abaixo:
Navegadores utilizados:

• Mozilla Firefox versão 20.0.
• Google Chrome 26.0.1410.63

Fonte: http://maguscode.blogspot.com