Armazene o conteúdo do banco em um arquivo compactado:

$ mysqldump -u 'usuário' -p --quick 'nome do banco' | gzip > 'arquivo.gz'

Feito isso, copie o arquivo para o servidor de destino:

$ scp 'arquivo.gz' 'user'@'servidor destino':/'diretório destino'

Crie o novo banco no MYSQL:

$ mysqladmin -u 'usuário administrador' -p create 'nome do novo banco'

Descompacte o arquivo criado para o novo banco:

$ gunzip < 'arquivo.gz' | mysql -u 'usuário administrador' -p -D 'nome do novo banco'

Entre no mysql como administrador:

$ mysql -u 'usuário administrador' -p

Crie um usuário que acesse o banco remotamente com todos os privilégios no banco relacionado:

grant create, select, insert, update, delete, lock tables on 'banco'.* to 'usuario'@'servidor que acessará o banco' identified by "'senha'";

Verifique se o usuário foi criado corretamente:

use mysql;
select * from user;

Force as alterações:

flush privileges;

Teste o acesso ao banco:

$ mysql -h 'IP da máquina do banco' -D 'nome do banco' -u 'usuário criado' -p

Verifique se as tabelas existem:

show tables;